Berechnung der Kardinalzahl von Sätzen

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Unser modernes Kardinalitätsverständnis stammt aus der Arbeit von Georg Cantor in den 1890er Jahren: Sets können drei Arten von Kardinalarten haben: endlich, zählbar und unzählbar. Für endliche Mengen kann eine bestimmte Nummer zugewiesen werden, z. B. ihre Kardinalität: die Anzahl der Elemente in der Gruppe. Sowohl abzählbare als auch unzählige Mengen sind unendlich. Cantor war der erste Mathematiker, der darauf hingewiesen hat, dass das Merkmal einer unendlichen Menge darin besteht, dass sie in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit einer eigenen Teilmenge von sich selbst gestellt werden kann.

Anweisungen

Infinity ist komplizierter als es scheint (Phil Ashley / Lifesize / Getty Images)

Geben Sie eine bestimmte Zahl für einen Satz Kardinalität an, wenn diese endlich ist. Für diese Mengen ist die Kardinalität die Anzahl der darin enthaltenen Objekte. Für unendlich ist es unmöglich, eine bestimmte Zahl für die Kardinalität festzulegen - wir können nur ein beschreibendes Wort verwenden. Eine Untermenge einer Menge ist eine, die einige - aber nicht alle - der Satznummern enthält, aber keine, die nicht darin enthalten sind. Eine Untermenge von Buchstaben im portugiesischen Alphabet sind beispielsweise die Buchstaben im Wort "Banane". Bei endlichen Mengen sind die richtigen Teilmengen kleiner als die Menge. Was für unendliche Mengen nicht zutrifft.
Beginnen Sie mit einem bestimmten Element des Sets und behalten Sie es auf eine bestimmte Art und Weise bei, um alle Elemente eines Sets aufzulisten. Dies ist die Definition der Abrechnung für eine unendliche Menge. Das Hauptmerkmal ist, dass es einen Algorithmus gibt, um alle Elemente ewig aufzulisten. Die archetypische zählbare unendliche Menge ist die von ganzen Zahlen. Beginnen Sie mit "Eins" und fahren Sie mit der nächsten fortlaufenden Nummer fort. Sie können keine Kardinalitätszahl angeben, Sie werden nur sagen, dass sie ewig ist. Beachten Sie, dass für jede ganze Zahl eine entsprechende gerade Zahl vorhanden ist, die doppelt so groß ist. Es gibt so viele ganze Zahlen wie gerade Zahlen. Es gibt eine Eins-zu-Eins-Übereinstimmung zwischen dem Satz und einem richtigen Teilsatz dieses Satzes.
Vergleichen Sie einen Satz mit den Zahlen zwischen Null und Eins, um zu sehen, ob er unzählig unendlich ist. Sie können nicht mit dem Zählen beginnen, da nach einer Zahl zwischen Null und Eins keine "nächste" Zahl vorhanden ist. Cantor gab ein Beispiel, um das intuitive Verständnis zahlloser Mengen zu erleichtern: Punkte und Linien. Punkte sind nicht lang oder breit, auch wenn eine Linie aus Punkten besteht. Wenn die Linien unendlich viele Punkte sind, würde die Linienlänge für immer 0 + 0 + 0 usw. sein. Die Linien müssen unzählige Punkte haben.