So berechnen Sie ein Dreieck 30-60-90

Inhalt

• Anweisungen
• Wie
• Hinweis

Ein skaliertes Dreieck mit den Winkeln bei 30, 60 und 90 Grad ist definitionsgemäß ein Dreieck, da einer der Winkel 90 Grad hat, dh es ist ein rechter Winkel. Solche Dreiecke sind in Trigonometrie-Anweisungen sehr häufig, daher ist es interessant, sowohl die Seitenlänge dieses Dreieckstyps zu kennen als auch, wie er abgeleitet werden kann.

Anweisungen

Zwei dreieckige Dreiecke mit einem Winkel von 30-60-90 Grad bilden jeweils ein gleichseitiges Dreieck (Dreieck Sephia Phospho Bild von Unclesam von Fotolia.com)

1. Richten Sie das scalene-Dreieck so aus, dass die mittlere Seite von unten horizontal und die kleinere von rechts ist. Dann ist der Winkel von 30 Grad nach links und der Winkel von 60 Grad nach oben. Ermitteln Sie die Länge der Hypotenuse mit dem Buchstaben H.

2. Bestimmen Sie die Länge der kürzeren Seite, indem Sie H durch 2 teilen. Bestimmen Sie die Länge der Unterseite, indem Sie H mit √3 / 2 multiplizieren. Alternativ können Sie die Länge der Unterseite ermitteln, indem Sie die kürzere Seite mit √3 multiplizieren. Dies ist möglicherweise einfacher zu merken als die √3 / 2-Zahl.

3. Bestimmen Sie H, wenn eine der anderen Seiten gefunden wird, indem Sie die kürzere Seite mit 2 multiplizieren oder die durchschnittliche Längsseite mit 2 / √3 multiplizieren. Wenn Sie bereits zwei Seiten kennen, können Sie natürlich den Satz des Pythagoras verwenden, um die dritte zu finden, da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

   
   

4. Leiten Sie ab, woher die vorherigen Zahlen wie folgt kamen: Platzieren Sie zwei Dreiecke 30-60-90 Grad gleicher Größe nebeneinander, wobei die mittlere Länge in die Mitte tippt und die kürzeren Seiten eine gerade Linie nach unten bilden. Beachten Sie, dass diese beiden Dreiecke nun ein Dreieck mit allen Winkeln von 60 Grad bilden. Das Dreieck ist jetzt gleichseitig. Da alle Winkel gleich sind, sind die Längen gleich. Daher haben die drei Seiten die Länge H. Beachten Sie insbesondere, dass die Unterseite die Länge H hat. Da die Unterseite aus zwei kürzeren Seiten besteht, ist die kürzere Seite eines Dreiecks mit den Winkeln 30-60-90 H / 2. Nach dem Satz des Pythagoras muss der Mittelwert H√3 / 2 sein.

Wie

• Die Seiten eines skalaren Dreiecks mit Länge der Hypotenuse in 1 erscheinen häufig in Trigonometrie-Übungen. Wenn Sie das Dreieck innerhalb eines Kreises platzieren, sodass die kürzere Seite die positive x-Achse berührt und die Hypotenuse der Länge 1 vom Ursprung bis zum Kreis reicht, hat der Schnittpunkt im Kreis eine x-Koordinate von 1/2 ey √3 / 2. Dies sind der Sinus und Cosinus von 30 Grad. Wenn das Dreieck so gedreht wird, dass die mittlere Länge auf der positiven x-Achse liegt, hat der Schnittpunkt im Kreis eine x-Koordinate von √3 / 2 und y von 1/2. Man sagt dann, dass der 60-Grad-Cosinus 1/2 ist und der 60-Grad-Sinus √3 / 2 ist. Aus einem ähnlichen Grund sind der Sinus und der Cosinus von 45 Grad beide √2 / 2 = 1 / √2, da ein Dreieck der Winkel 45-45-90 mit der Hypotenuse Seitenlängen von 1 / √2 hat. Wenn Sie von 30 auf 45 bis 60 Grad gehen, nimmt der Cosinus von √3 / 2 auf √2 / 2 auf √1 / 2 (= 1/2) ab und der Sinus steigt von √1 / 2 auf √2 / 2 bis √3 / 2. Dieses Muster erzeugt eine interessante Erinnerung für die in den Schritten eins, zwei und drei diskutierten Zahlen.

Hinweis

• Verwechseln Sie das oben diskutierte Dreieck nicht mit einem geraden Dreieck der Seiten 3-4-5, das ein einfaches Seitenverhältnis aufweist, jedoch nicht die gleichen Winkel wie das Dreieck mit 30-60-90 Grad.