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Wenn Sie ein Quadrat erstellen und zwei diagonale Linien zeichnen müssten, würden sie sich in der Mitte schneiden und vier rechtwinklige Dreiecke bilden. Die beiden Linien schneiden sich in einem Winkel von 90 Grad. Es ist intuitiv zu erkennen, dass sich diese beiden Diagonalen in einem Würfel, die jeweils von einer Ecke zur anderen verlaufen und sich in der Mitte kreuzen, auch rechtwinklig schneiden können. aber das wäre ein fehler. Die Bestimmung des Winkels, in dem sich die beiden Diagonalen schneiden, ist etwas komplizierter als zunächst angenommen. Es empfiehlt sich jedoch, die Prinzipien der Geometrie und Trigonometrie zu verstehen.
Schritt 1
Definieren Sie die Länge einer Kante als Einheit. Per Definition hat jede Kante des Würfels eine Länge, die der Feuchtigkeit entspricht.
Schritt 2
Verwenden Sie den Satz von Pythagoras, um die Länge der Diagonale zu bestimmen, die von einer Ecke zur anderen auf derselben Seite verläuft, die der Klarheit halber als "kleine Diagonale" bezeichnet werden kann. Jede Seite des gebildeten rechtwinkligen Dreiecks ist eine Einheit, daher muss die Diagonale gleich √2 sein.
Schritt 3
Verwenden Sie den Satz von Pythagoras, um die Länge einer Diagonale zu bestimmen, die von einer Ecke zur anderen auf der anderen Seite des Würfels verläuft und als "Hauptdiagonale" bezeichnet werden kann. Sie haben ein rechtwinkliges Dreieck auf einer Seite, das einer Einheit entspricht, und eine Seite, die der "kleineren Diagonale" entspricht, die der Quadratwurzel zweier Einheiten entspricht. Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe des Quadrats der Seiten, daher muss die Hypotenuse √3 sein. Jede Diagonale, die auf der anderen Seite des Würfels von einer Ecke zur anderen verläuft, entspricht √3 Einheiten.
Schritt 4
Zeichnen Sie ein Rechteck, um zwei größere Diagonalen in der Mitte des Würfels darzustellen, und berücksichtigen Sie, dass der Winkel ihres Schnittpunkts gefunden werden muss. Dieses Rechteck muss 1 Einheit hoch und √2 Einheiten breit sein. Die größeren Diagonalen schneiden sich in der Mitte dieses Rechtecks und bilden zwei verschiedene Arten von Dreiecken. Eine von ihnen hat eine Seite von 1 Einheit und die anderen beiden von √3 / 2 (die halbe Länge einer größeren Diagonale). Die andere Seite hat zwei Seiten, die gleich √3 / 2 sind, aber Ihre erste ist √2. Sie müssen nur eines der Dreiecke analysieren, das erste auswählen und den unbekannten Winkel ermitteln.
Schritt 5
Verwenden Sie die trigonometrische Formel "c² = a² + b² - 2ab x cos C", um den unbekannten Winkel dieses Dreiecks zu ermitteln. "C = 1" und "b" und "a" sind gleich √3 / 2. Wenn wir diese Werte in die Gleichung einfügen, stellen wir fest, dass der Kosinus des Winkels 1/3 beträgt. Die Umkehrung von Kosinus 1/3 entspricht einem Winkel von 70,5 Grad.